Introdução à Teoria dos Jogos
A Teoria dos Jogos é um ramo da matemática aplicada que estuda as interações estratégicas entre indivíduos em situações competitivas. Ela ajuda a entender como as decisões de diferentes atores afetam o resultado de uma situação específica, considerando não apenas os resultados individuais, mas também as estratégias adotadas. A teoria é amplamente utilizada em economia, ciência política, biologia e muitos outros campos.
Fundamentos da Teoria dos Jogos
Os jogos podem ser classificados em várias categorias, como jogos cooperativos e não-cooperativos. No contexto deste texto, focaremos nos jogos não-cooperativos. Estes são jogos nos quais os participantes não podem entrar em acordos ou promessas de cooperação para alcançar seus objetivos. Além disso, os jogos podem ser estáticos (onde todas as ações são tomadas simultaneamente) ou dinâmicos (onde as ações são tomadas sequencialmente). Vamos abordar a teoria dos jogos através de alguns conceitos fundamentais:
1、Estratégia: Uma estratégia é uma descrição completa do que um jogador deve fazer para cada possível conjunto de informações disponíveis no jogo.
2、EQUILÍBRIO DE NASH: O Equilíbrio de Nash é um conceito fundamental na teoria dos jogos, onde nenhum jogador pode aumentar sua utilidade mudando sua estratégia unicamente.
3、Matriz de Pagamento: É uma tabela que lista todos os possíveis resultados de cada combinação de estratégias escolhidas pelos jogadores.
Exercício 1: O Jogo da Prisão
Um dos exemplos mais clássicos na teoria dos jogos é o "Jogo da Prisão". Nesse jogo, duas pessoas são presas e devem decidir se delatam uma à outra. Cada prisioneiro tem duas opções: delatar ou manter silêncio. Os possíveis resultados são listados na matriz de pagamento a seguir:
| Jogador B mantém silêncio | Jogador B delata | |
| Jogador A mantém | -1, -1 | -10, 0 |
| Jogador A delata | 0, -10 | -5, -5 |
- Se ambos mantiverem silêncio, ambas as prisões receberão uma pena menor (-1, -1).
- Se um delatar e o outro manter silêncio, quem delatar será liberado (0), enquanto o outro ficará com uma pena mais pesada (-10).
- Se ambos delatarem, ambos recebem uma pena intermediária (-5).
O equilíbrio de Nash neste jogo é quando ambos os jogadores delatam. Embora ambos possam conseguir uma sentença menor mantendo silêncio, o fato de que não sabem a decisão do outro leva ambos a delatar, resultando no equilíbrio de Nash.
Exercício 2: Teoria dos Jogos com Recompensas
Vamos agora considerar um exemplo mais complexo onde a teoria dos jogos envolve recompensas monetárias. Suponha que dois jogadores estejam em um jogo onde eles devem decidir se investem em ações (A) ou títulos (B). As probabilidades de sucesso ou fracasso são as seguintes:
- Investimento em A: 70% de chance de lucro e 30% de chance de perda.
- Investimento em B: 60% de chance de lucro e 40% de chance de perda.
As recompensas monetárias para cada situação são:
| Lucro (70%) | Perda (30%) | |
| Jogador 1 - A | R$100,00 | -R$50,00 |
| Jogador 1 - B | R$70,00 | -R$20,00 |
- Se o jogador 1 escolher investir em A, ele tem uma chance de 70% de lucrar R$100,00 e 30% de perder R$50,00.
- Se o jogador 1 escolher investir em B, ele tem uma chance de 60% de lucrar R$70,00 e 40% de perder R$20,00.
Para o segundo jogador, as mesmas probabilidades e recompensas se aplicam.
Pergunta: Qual seria a melhor estratégia para cada jogador? Para responder, você deve calcular o valor esperado para cada ação e tomar a decisão que maximiza essa expectativa.
Resposta:
Investimento em A para o Jogador 1: (0,7 * R$100,00) + (0,3 * -R$50,00) = R$65,00.
Investimento em B para o Jogador 1: (0,6 * R$70,00) + (0,4 * -R$20,00) = R$34,00.
Portanto, investir em A oferece uma expectativa de valor mais alto para o jogador 1.
Exercício 3: Estratégias Mistas
Em muitos casos, a tomada de decisão não é tão clara quanto os exercícios anteriores sugerem. Às vezes, é vantajoso adotar uma estratégia mista, onde um jogador tem uma probabilidade de escolher uma das ações. Por exemplo, suponha que um jogador tenha uma escolha entre duas ações, A ou B, com a probabilidade de cada ação sendo p e 1-p, respectivamente.
Caso A: O jogador recebe R$50 com probabilidade 0,8 e perde R$20 com probabilidade 0,2.
Caso B: O jogador recebe R$70 com probabilidade 0,5 e perde R$40 com probabilidade 0,5.
Para encontrar o valor esperado da ação mista, você precisa calcular a expectativa combinada de ambos os cenários.
Caso misto A com probabilidade p: (p * 0,8 * R$50,00) + ((1-p) * 0,2 * -R$20,00).
Caso misto B com probabilidade 1-p: (p * 0,5 * R$70,00) + ((1-p) * 0,5 * -R$40,00).
Pergunta: Qual é a melhor probabilidade p para escolher ação A? Para resolver isso, você deve igualar os valores esperados dos dois cenários mistos e resolver para p.
Resposta:
Para achar a melhor probabilidade p, igualamos os valores esperados:
(p * 0,8 * R$50,00) + ((1-p) * 0,2 * -R$20,00) = (p * 0,5 * R$70,00) + ((1-p) * 0,5 * -R$40,00)
Simplificando:
0,8p * R$50,00 - 0,2(1-p) * R$20,00 = 0,5p * R$70,00 - 0,5(1-p) * R$40,00
Calculando:
40p - 4 + 0,4p = 35p - 20 - 20p
15p = 16
Portanto, p = \(\frac{16}{15} = 0,8\).
Então, a melhor estratégia mista é investir em A com probabilidade de 0,8.
Espero que esses exercícios lhe ajudem a entender como a teoria dos jogos pode ser aplicada em situações práticas, especialmente quando há recompensas envolvidas. Essa teoria nos ajuda a tomar decisões informadas e estratégicas, levando em consideração não apenas nossas próprias ações, mas também as possíveis respostas de outras partes interessadas.
